.png)
איך הטלפון שלנו יודע איפה אנחנו? הקסם שמאחורי הניווט
בכל פעם שאנחנו פותחים את אפליקציית הניווט כדי לנסוע לעבודה, לחברים או לטיול, מופיעה נקודה כחולה קטנה על המסך שמראה לנו בדיוק איפה אנחנו. התרגלנו לזה, אבל אם עוצרים לחשוב על זה לרגע, זה כמעט קסם. איך הקופסה שאנחנו מחזיקים ביד יודעת, בדיוק של מטרים ספורים, היכן היא נמצאת על פני כדור הארץ?
התשובה טמונה בשילוב של מתמטיקה פשוטה שכולנו למדנו בבית הספר, ופיזיקה של חלל. כדי להבין את זה, אנחנו צריכים להכיר שני מושגים: טריאנגולציה וניווט לווייני. הבה נצא לדרך, צעד אחר צעד.
שלב ראשון: משחק המחבואים של המתמטיקה
תארו לעצמכם שאתם עומדים בלב מדבר ענק ושטוח לחלוטין, ואין לכם מושג איפה אתם. אתם מתקשרים אלי ואני מנסה לעזור לכם למצוא את מיקומכם על המפה שיש לי.
הרמז הראשון: אני אומר לכם שאתם נמצאים בדיוק במרחק של 10 קילומטרים ממגדל המים של היישוב.
אנחנו רואים נוף מדברי פתוח ואינסופי. במרכז עומד אדם (זה אתם) מחזיק טלפון ונראה אבוד. הרחק באופק, מימין, נראה סימן הדרך היחיד: מגדל מים כסוף וגבוה. האם אתם יודעים עכשיו איפה אתם? עדיין לא בדיוק. אם ניקח מחוגה, נציב את החוד שלה על מגדל המים במפה, ונצייר מעגל שבו כל נקודה רחוקה 10 ק"מ מהמגדל (המרחק הזה נקרא רדיוס), תבינו שאתם יכולים להיות בכל נקודה על פני המעגל הזה.
הנוף מהתמונה הקודמת נשמר. האדם עדיין במרכז. כעת, משורטט על הקרקע מעגל אדום חצי-שקוף וענק. מגדל המים הוא המרכז של המעגל הזה. האדם עומד בדיוק על קו ההיקף האדום. בינתיים, באופק משמאל, מופיע סימן דרך שני: תחנת דלק קטנה. הרמז השני: אני מוסיף שאתם נמצאים גם במרחק של 7 קילומטרים מתחנת הדלק.
עכשיו אני מצייר מעגל שני, הפעם סביב תחנת הדלק, ברדיוס של 7 ק"מ. שני המעגלים שציירתי ייפגשו (יחתכו זה את זה) בדיוק בשתי נקודות. עכשיו צמצמנו את האפשרויות לשני מקומות בלבד!
האדם והמעגל האדום נשארים. כעת, משורטט מעגל כחול חצי-שקוף שני, שמרכזו הוא תחנת הדלק החדשה. שימו לב שהמעגל הכחול והמעגל האדום חותכים זה את זה בשתי נקודות נפרדות על הקרקע. האדם עומד כעת באחת משתי נקודות החיתוך הללו. באופק הרחוק, מאחור, מופיע סימן דרך שלישי: עץ אלון עתיק. הרמז השלישי והאחרון: אני מגלה לכם שאתם נמצאים במרחק של 5 קילומטרים מעץ האלון העתיק.
אני מצייר מעגל שלישי. הפלא ופלא – יש רק נקודה אחת ויחידה במפה שבה כל שלושת המעגלים נפגשים יחד. מצאנו אתכם!
זוהי תמונת השיא. כל האלמנטים הקודמים קיימים: המגדל, תחנת הדלק, המעגלים האדום והכחול, והאדם. כעת מופיע מעגל ירוק חצי-שקוף שלישי, שמרכזו בעץ האלון. שימו לב היטב: המעגל הירוק עובר בדיוק דרך נקודת החיתוך שבה עמד האדם. שלוש הקשתות (אדומה, כחולה, ירוקה) נפגשות בנקודה אחת. האדם מחייך, נראה רגוע, ונקודה כחולה זוהרת (כמו ב-GPS) מסמנת את מיקומו המדויק.
הגדרה מדעית קטנה ודיוק חשוב:
השיטה הזו, של מציאת מיקום בעזרת חיתוך של מרחקים מנקודות ידועות, נקראת בשפה היומיומית טריאנגולציה (מלשון "טרי" = שלוש, ו"אנגל" = זווית). למען הדיוק המדעי והמתמטי, טריאנגולציה אמיתית מבוססת על מדידת זוויות (למשל, בעזרת משולשים). השיטה שתארנו כרגע, שמבוססת על מדידת מרחקים, נקראת למעשה טרילטרציה (Trilateration, "לטרל" = צלע). אך מכיוון שכולם ברחוב קוראים לזה טריאנגולציה, אנחנו נזרום עם המונח הזה, כשאנחנו יודעים בסוד שהכוונה היא לחיתוך של מרחקים.
שלב שני: עוברים לחלל: איך עובד ניווט לווייני?
הטלפון שלכם אינו משתמש במגדלי מים או בעצים. הוא משתמש בלוויינים.
מהו לוויין? לוויין הוא מכשיר שנבנה על ידי בני אדם ושוגר לחלל, והוא מקיף את כדור הארץ בגובה של כ-20,000 קילומטרים. מערכת ה-GPS (ראשי תיבות של Global Positioning System - מערכת איכון עולמית) מורכבת מכ-30 לוויינים כאלה.
הלוויינים האלה הם כמו מגדל המים ותחנת הדלק מהדוגמה שלנו. המיקום שלהם בחלל בכל שנייה נתונה ידוע בדיוק מוחלט. אבל רגע, כדי שהטלפון יצייר עיגול סביב הלוויין, הוא צריך לדעת מה המרחק בינו לבין הלוויין. איך הטלפון מודד מרחק ללוויין שנמצא בחלל?
כאן נכנסת משוואה פשוטה שלמדנו בחטיבת הביניים:
מרחק = מהירות כפול זמן
אנלוגיה פשוטה: קרה לכם שראיתם ברק, התחלתם לספור "21, 22, 23", ואז שמעתם את הרעם? מהירות הקול היא בערך 300 מטרים בשנייה. אם עברו 3 שניות מרגע הברק (האור מגיע אלינו מיידית) ועד ששמענו את הרעם, אנחנו יודעים שהסופה רחוקה מאיתנו בערך 900 מטרים (3 כפול 300).
ה-GPS עובד בדיוק כך, אבל עם גלי רדיו במקום קול:
הלוויין משדר ללא הפסקה אות שאומר: "אני לוויין מספר 4, והשעה אצלי כרגע היא בדיוק 12:00:00.000".
האות הזה רוכב על גלי רדיו, שנעים במהירות האור (כ-300,000 קילומטרים בשנייה!).
הטלפון שלכם קולט את האות. הוא מסתכל בשעון שלו ורואה שהשעה כרגע היא 12:00:00.067 (כלומר, חלפו 67 אלפיות השנייה).
הטלפון עושה את החשבון: מהירות (האור) כפול זמן (67 אלפיות השנייה) = המרחק אל הלוויין (כ-20,000 קילומטרים).
שלב שלישי: המימד השלישי והלוויין הרביעי
זוכרים את שלושת המעגלים שציירנו במדבר השטוח? המציאות שלנו אינה מפה שטוחה דו-מימדית (אורך ורוחב), אלא עולם תלת-מימדי (אורך, רוחב וגובה).
לכן, במקום לצייר מעגלים שטוחים על נייר, הטלפון משרטט כדורים דמיוניים בחלל:
מרחק מלוויין אחד אומר שאנחנו נמצאים איפשהו על פני הקליפה של כדור ענק שמרכזו בלוויין.
חיתוך של שני כדורים יוצר צורה של טבעת (או חישוק).
חיתוך של שלושה כדורים מצמצם את האפשרויות לשתי נקודות מדויקות בחלל. בדרך כלל, אחת הנקודות תהיה עמוק בחלל החיצון (לא הגיוני), והשנייה תהיה על פני כדור הארץ, וזו הנקודה הכחולה שלכם!
אז למה הניווט דורש תמיד קליטה של 4 לוויינים לפחות?
הנה הפאנץ' של המדענים: הכל מבוסס על מדידת זמן. מכיוון שגלי הרדיו נעים במהירות האור, טעות של אלפית שנייה אחת בשעון של הטלפון שלכם תוביל לטעות של 300 קילומטרים במיקום!
בלוויינים שבחלל מותקנים שעונים אטומיים, השעונים המדויקים ביותר שהאנושות המציאה. אבל בטלפון הנייד שלנו יש שעון קוורץ פשוט וזול, שמזייף בקטנה.
כדי לפתור את זה, הטלפון משתמש בלוויין רביעי. הלוויין הרביעי מספק משוואה מתמטית נוספת שמאפשרת לטלפון לחשב את הטעות של השעון העצמי שלו, לתקן אותה לדיוק אטומי, וכך "לנעול" את המיקום התלת-מימדי המדויק שלכם.
הבה נשתמש בהמחשה ויזואלית
אנחנו מתחילים הרחק בחלל. הלוויין הבודד (SV1) הוא המרכז. כשאנחנו מודדים מרחק, הטלפון יודע שהוא נמצא איפשהו על פניו של כדור דמיוני עצום, שמקיף את הלוויין. קוטר הכדור הזה הוא עשרות אלפי קילומטרים (פי כמה מכדור הארץ כולו). בתמונה הזו, הכדור נראה שלם, פתוח לחלוטין בחלל הריק, רחוק מאוד מפני כדור הארץ שבתחתית.
הוספנו לוויין שני (SV2). גם הוא מרכז של כדור עצום משלו. היכן שני הכדורים העצומים האלה נפגשים? החיתוך הגיאומטרי שלהם הוא דיסק (טבעת מושלמת) של אור, שמרחף לו בחלל הריק, הרחק מעל פני כדור הארץ. זהו חיתוך תלת-מימדי מלא בחלל.
נוסיף לוויין שלישי (SV3). הכדור העצום השלישי שהוא פולט חותך את הדיסק (הטבעת המרחפת) שנוצר משני הכדורים הקודמים. המפגש הזה מצמצם את האפשרויות לשתי נקודות מדויקות בחלל, אחת "אמיתית" (קרובה לקרקע) ואחת לא (עמוק בחלל). כעת יש לנו שתי נקודות זוהרות ומדויקות המרחפות בחלל הריק.
המצלמה עוברת למבט שמשלב את החלל והקרקע. אנחנו רואים את הכדורים העצומים מהחלל כשהם מקיפים את כדור הארץ.
מכיוון שהכדורים האלה עצומים והטלפון שלנו קטן, מנקודת המבט שלו על הקרקע, אנחנו רואים רק את הפרוסה המקומית של הכדור הענק כשהוא עובר דרך הקרקע. הפרוסה הזו נראית לנו כ"בועה" או "כיפה" מקומית.
זהו השלב הסופי, שמחבר בין הגיאומטריה המרחבית (הכדורים העצומים), הפרוסות המקומיות (הבועות על הקרקע) ובעיית הזמן (הלוויין הרביעי).
ברגע שהשעון מתוקן, המרחקים המחושבים הופכים למדויקים לחלוטין. הכדור הרביעי הנקי עובר בדיוק דרך אחת משתי נקודות החיתוך (זאת האמיתית) שנוצרו משלושת הלוויינים המקוריים בחלל. כתוצאה מכך, אחת הנקודות נעלמת. הנקודה שנותרת הופכת לנקודה כחולה אחת ויחידה, לא "נקודה על הקרקע" אלא הנקודה שבה כל ארבעת הכדורים הנקיים בחלל נפגשים! הנקודה הזו מסמנת את המיקום הנעול והסופי.
לסיכום
בכל פעם שאתם מחפשים כתובת, הטלפון שלכם הופך למתמטיקאי זעיר. הוא מאזין ללחישות של שעונים אטומיים המרחפים בחלל הקר, מחשב כמה זמן לקח לאור להגיע אליו, משרטט ארבעה כדורים ענקיים ובלתי נראים שמקיפים את כדור הארץ, ומוצא את הנקודה האחת והיחידה שבה כולם נפגשים. וכל זה קורה עשרות פעמים בשנייה, רק כדי שתדעו מתי צריך לפנות ימינה בכיכר הקרובה.
פשוט קסם.
איך זה קשור אלינו במתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ? אנחנו מקימים בימים האלה ארגון שנותן מענה הוליסטי מבוסס רחפנים מאיסוף הנתונים השיטתי ועד לתובנות ולפתרונות ולתוצרים עבור לקוחות מענפי התכנון, הבנייה, האכיפה, החקלאות והתשתיות.
אם אתם זקוקים לשותף טכנולוגי עתיר ניסיון שיודע לספק שירותי מחקר ופיתוח Hands-on, מארגוני אנטרפרייז ועד סטארט-אפים, ממשרדי תכנון ועד למפעלי אנרגיה, על מנת להוציא חזון אלגוריתמי שלכם מהכוח אל הפועל? הבה נדבר!
שלמה יונה,
מייסד ומדען ראשי,
מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ
053-7326360
פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו:
Comments