הכללות של משפטי נקודת שבת

בהמשך לדיון על פוסט שלי על משפטים של נקודות שבת, רציתי לדבר על הכללות.

סולומון לפשץ היה מתמטיקאי אמריקאי ממוצא יהודי-רוסי, חי בין השנים 1884–1972, ואחת הדמויות המשפיעות ביותר במתמטיקה של המאה ה-20. הוא נולד במוסקבה, גדל בפריז, והיגר לארה"ב שם עבד תחילה כמהנדס. בגיל 23, איבד את שתי ידיו ואת אמותיו בתאונת עבודה בשנאי חשמלי. לאחר השיקום, כשהוא נעזר בידיים תותבות, החליט לשנות כיוון למתמטיקה עיונית. הוא הפך לאחד האבות המייסדים של הטופולוגיה האלגברית, טבע את המונח טופולוגיה, ופרסם את משפט נקודת השבת שלו בין השנים 1923 ל-1926.

משפט נקודת השבת של לפשץ מספק קריטריון שמאפשר לנו לדעת מתי לפונקציה רציפה יש לפחות נקודת שבת אחת, כלומר, נקודה x שעבורה מתקיים f(x)=x. המשפט מתרגם בעיה גיאומטרית-טופולוגית, האם קיימת נקודה שאינה זזה, לבעיה אלגברית שאפשר פשוט לחשב.

מעניין להשוות אותו לשני משפטים מפורסמים אחרים שעליהם כבר כתבתי פוסט, משפט נקודת השבת של בראואר ו-משפט נקודת השבת של בנך.

הקשר בין שלושת משפטי נקודת השבת מציג מעבר מגישה מטרית-מעשית לגישה טופולוגית-מופשטת. משפט בנך מבוסס על מדידת מרחקים ודורש פונקציה מכווצת, אך בתמורה הוא מספק שיטה מעשית למצוא נקודת שבת אחת ויחידה. לעומתו, משפט בראואר ומשפט לפשץ מוותרים לחלוטין על מושג המרחק ועוברים לעולם הטופולוגי, שבו נדרשת רק פונקציה רציפה; משפטים אלו מבטיחים רק את קיומה של נקודת שבת, אחת לפחות, אך אינם מספקים אלגוריתם או דרך קונסטרוקטיבית למציאתה. בתוך העולם הטופולוגי הזה, משפט לפשץ מהווה הכללה עמוקה ורחבה של משפט בראואר. בעוד שבראואר מוגבל למרחבים פשוטים וחסרי חורים, לפשץ מאפשר לבדוק קיום של נקודות שבת על מרחבים מורכבים הרבה יותר באמצעות כלים של אלגברה, כאשר משפט בראואר מתקבל פשוט כמקרה פרטי שבו החישוב של לפשץ תמיד שווה ל-1. 

הכללות נוספות:

משפט בראואר עוסק בפונקציות רגילות, שבהן לכל קלט יש פלט אחד ויחיד, נקודה עוברת לנקודה. מתמטיקאי יפני בשם שיזואו קקוטני שאל: מה קורה אם הפונקציה מחזירה קבוצה של ערכים במקום ערך בודד, פונקציה רב-ערכית? משפט נקודת השבת של קקוטני מוכיח שבתנאים מסוימים, גם לפונקציות כאלה יש נקודת שבת, נקודה שנמצאת בתוך קבוצת הפלטים של עצמה. זהו המשפט שבו השתמש המתמטיקאי ג'ון נאש כדי להוכיח שקיים שיווי משקל נאש בכל משחק סופי, תגלית ששינתה את הכלכלה המודרנית וזיכתה אותו בפרס הבנק המרכזי השוודי למדעי הכלכלה לזכרו של אלפרד נובל.

מתמטיקאי פולני, יוליוש שאודר, הראה שניתן להכליל את משפט נקודת השבת של בראואר גם למרחבים בעלי ממד אינסופי שנקראים מרחבי בנך. בממד אינסופי, הנקודות במרחב הן לרוב פונקציות בעצמן. משפט שאודר מאפשר להוכיח שקיימים פתרונות למשוואות דיפרנציאליות מסובכות, גם כאשר אי אפשר לחשב אותם במדויק.

משפט גליקסברג-פאן הוא המשפט שבעצם מהווה הכללת העל שמשלבת את ההכללות שהזכרתי קודם. זהו משפט שמרחיב את משפט קקוטני לתוך מרחבים בעלי ממד אינסופי. גם הוא משמש רבות בכלכלה מתמטית ובשליטה אופטימלית במערכות.

משפט בנך הוא מקרה פרטי של משפטים רחבים יותר בתחום המרחבים המטריים. הכללות שלו, כמו משפט קריסטי, מחלישות את הדרישה שהפונקציה תהיה מכווצת בצורה נוקשה, ומראות שעדיין ניתן למצוא נקודת שבת גם בתנאים גמישים יותר.

הכללות של משפטי נקודת שבת