מדוע אסור לחלק באפס?

רן לוי מעושים היסטוריה (Ran Levi) הסביר בסרטון מדוע אסור לחלק באפס.

הקישור לסרטון בתגובה הראשונה.

עצם הניסיון מעורר הערכה וכל הכבוד לרן על כך. יחד עם זאת, אני חושב שההסבר מבלבל בין הגדרות, לתוצאות, לאקסיומות. למשל, כפל כחיבור חוזר של ערכים שווי גודל זאת הגדרה ולא חוק. חוק החילוף בכפל הוא אקסיומה במבנים אלגבריים אבל תוצאה אם בונים את החשבון באמצעות אקסיומות פאנו. עם זאת, בסרטון של רן לוי יש התייחסות לעקביות וזה יפה. סה"כ זה נושא שאוהבים להתחמק ממנו או לקשקש בקומקום ורן התאמץ כאן לתת הסבר.

אני מבקש לנסות ולהסביר את האיסור לחלק באפס באמצעות משהו אחר בסיסי ואינטואיטיבי יותר והוא המשמעות. חלוקה באפס אסורה כי אין לה משמעות. נכון, חלוקה באפס יוצרת סתירות וחוסר עקביות במתמטיקה ולכן נמנעים ממנה, אבל בראש ובראשונה אין בזה משמעות.

לפעולת החילוק יש כמה משמעויות שונות, שהדקויות ביניהן לפעמים ברורות מאוד ולפעמים מבלבלות. יש חילוק לחלקים, יש חילוק להכלה, יש חילוק במבטא יחס ויש חילוק במשמעות של הקטנה. הנה דוגמאות:

בחילוק לחלקים 9:0 אפשר לתאר כ- יש לי 9 עפרונות שרציתי לחלק לאפס ילדים. כמה עפרונות קיבל כל ילד? אבל אם אני מחלק ל-0 ילדים משמע שאינני מחלק בכלל ולכן אין משמעות לפעולה.

בחילוק להכלה 9:0 אפשר לתאר כ- כמה פעמים נכנס 0 ב-9? אין ממש משמעות לפתרון כי התוצאה אינה מספר.

בחילוק כמבטא של יחס, יחס של 9:0 בין הבנים לבנות. במילים אחרות זה שיש על כל 0 בנים יש 9 בנות. נו... ו-... זה אומר שאין בנים ויש בנות. יש רק בנות. אז...?

במשמעות של הקטנה נוכל לספר ש-ילד קיבל 9 עפרונות ואילו חברו קיבל פי 0 פחות מהראשון. כמה עפרונות קיבל החבר? מה המשמעות של זה? אין.

לחלק משהו ל-0 קבוצות שקול לאי-עשיית הפעולה. אין קבוצות או מקבלים, אז אי אפשר לשאול כמה יש בכל קבוצה. אז אין משמעות בחילוק לחלקים. השאלה כמה פעמים כלום נכנס במשהו היא חסרת משמעות. אפשר להכניס כלום לתוך 9 אינסוף פעמים, ועדיין נישאר עם 9. אין כאן מנייה אמיתית של כמות. אינסוף אינו מספר. יחס בא לתאר קשר כמותי בין שתי קבוצות. כשקבוצה אחת היא 0, אין ביניהן קשר שמייצר מנה מספרית. זה פשוט תיאור מצב: יש רק בנות ואין בנים, והניסיון להציב את זה כפרופורציה הוא חסר משמעות. להקטין משהו פי 0 דורש כיווץ לממדים שאינם קיימים. מעבר לכך, כשמנסים לחלק משהו בערכים הולכים וקטנים אז מקבלים תוצאה הולכת וגדלה עד לאינסוף שכאמור אינו מספר. זה מסתבך יותר כשמכניסים מספרים שליליים ואז רואים שניסיון לחלק במספר שלילי שהולך ומתקרב לאפס שואף למינוס אינסוף אז באפס אין רציפות ואין התכנסות אלא לכיוונים הפוכים לחלוטין... שוב, אין לזה משמעות כמספר.

בסופו של דבר, פעולות חשבוניות נועדו לייצג את המציאות או לתאר מערכת לוגית עקבית. כשפעולה מסוימת מפסיקה לייצג משמעות במציאות או אפילו במחשבה, ... ואין בה עקביות אז המתמטיקה לא יכולה לסבול אותה כי נקבל סתירות מכל מיני כיוונים. האיסור לחלק באפס אינו רק כלל שרירותי שנועד למנוע בעיות בנוסחאות (אם כי גם זאת סיבה טובה כשלעצמה), אלא הכרה שאי אפשר לתת תשובה לשאלה חסרת משמעות.

מדוע אסור לחלק באפס?

גם בנושאים של חינוך מתמטי מהגן, דרך היסודי, חט"ב, תיכון, אוניברסיטה והלאה יש לנו הרבה מה להציע. הנחיית מורים, הנחיית הורים והרבה לומר על למידה וחשיבה ועל מתמטיקה כשפה ועל מתמטיקה כאמצעי להעשרה אינסטרומנטלית לפי גישת פויירשטיין. גם מיכל וגם אני תלמידים של תלמה גביש ז"ל. אני בוגר של מכון פויירשטיין ולשנינו יש גם תארים בהוראת המתמטיקה, בין השאר.

דברו איתי:

שלמה יונה

מייסד ומדען ראשי, מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ

053-7326360

shlomo.yona@mathematic.ai 

https://mathematic.ai

פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו: A technical deep dive about Mathematic.ai