Mathematical Thinking - For People Who Hate Math: ביקורת ספר

הנה סקירה שלי על הספר Mathematical Thinking - For People Who Hate Math (חשיבה מתמטית - לאנשים ששונאים מתמטיקה), שפורסם בסוף שנת 2021 תחת שמו של המחבר אלברט רתרפורד. הספר מבקש לגשר על פער תהומי בין הצורך הגובר באוריינות כמותית ולוגית, לבין החרדה והרתיעה שחלקים נרחבים בציבור חשים כלפי תחום המתמטיקה.

הספר נמנע באופן מוחלט מכניסה לתחומים שמהווים את ליבת המתמטיקה של קבלת החלטות. במקום חשיבה מתמטית עמוקה, הקורא מקבל יסודות של פסיכולוגיה קוגניטיבית. כפועל יוצא, הספר מהווה פרויקט חולף של רעיונות מוכרים ונעדר חזון פילוסופי-מתמטי עמוק. מעבר לאכזבה הזאת ישנה התחושה שהספר מתפקד כסיכום מאוחד של ספרי עיון מובילים אך ללא מסגרת פרשנית חדשה או תרומה תיאורטית עצמאית.

אז בקצרה, לא הייתי ממליץ!

הספר מציג מספר תובנות תיאורטיות שנועדו לשנות את האופן שבו הקורא תופס את המציאות ואת תהליכי עיבוד המידע שלו. אם אציין את התובנות שהצלחתי לחלץ מהספר אז רק הוגן שגם אתייחס אליהן באופן ביקורתי.

התובנה המכוננת של הספר היא שהחשיבה המתמטית אינה טמונה ביכולת לשנן נוסחאות, לבצע חילוק ארוך או לפתור משוואות מרובות משתנים. על פי התובנה, מתמטיקה היא למעשה מסגרת חשיבה שמתמקדת בניתוח, פירוק בעיות למרכיביהן, הסקת מסקנות מופשטות וזיהוי תבניות חבויות בתוך כאוס הנתונים. הספר טוען כי במערכת החינוך, לימודי המתמטיקה נלמדים בצורה אוטוריטרית, משעממת ומוגבלת, בה התלמיד נדרש לשנן את משפט פיתגורס ללא הבנת המהות.

כדי להמחיש את ההבדל בין חישוב פרוצדורלי לחשיבה מתמטית עמוקה, המחבר משתמש באנלוגיה מעולם הקולינריה: ההבדל בין אדם שעוקב אחר מתכון בספר בישול, לבין שף מקצועי. האדם הפשוט מבצע הוראות, את המתכון כמו שמחשב מבצע קוד תכנות, אך השף מבין את עקרונות הבסיס, כיצד חומרי גלם מגיבים לחום, כיצד טעמים מתאזנים, ולכן הוא מסוגל לאלתר, לתקן טעויות וליצור מאכלים חדשים. באותו אופן, בעידן שבו אפליקציות דיגיטליות, מחשבונים חכמים ומנועי חיפוש מסוגלים למדוד זוויות, לחשב מסעדות ואף לפתור אינטגרלים מסובכים, הפעולה הפרוצדורלית הופכת למיותרת עבור האדם הממוצע. עם זאת, הדרישה לאנשים בעלי יכולת חשיבה מופשטת ופתרון בעיות אסטרטגי הולכת וגוברת בשוק התעסוקה.

מבחינה פדגוגית ותיאורטית, תובנה זו מבוססת היטב ונתמכת על ידי עשורים של מחקר בחינוך מתמטי. חוקרים רבים מסכימים כי הטרגדיה של הוראת המתמטיקה היא התמקדות בשינון על פני הבנה מערכתית. על ידי ניתוק מוחלט של החשיבה מהפרקטיקה החישובית והצורנית, הספר מתרוקן כמעט לחלוטין מתוכן מתמטי פרופר, והופך למדריך גנרי ללוגיקה בסיסית. כפי שמשתקף במספר ביקורות מקצועיות, הבטחת הספר לספק "כלים של מתמטיקאים" מבלי לגעת במשוואות משמשת יותר כאמצעי שיווקי פופוליסטי מאשר כמתודולוגיה אותנטית. ללא התמודדות עם תרגול טכני ברמה מסוימת, הבנת העקרונות המופשטים נותרת שטחית. המתמטיקה התפתחה כשפה כמותית, והניסיון ללמד אותה לחלוטין ללא מספרים משול לניסיון ללמד שחייה בהתכתבות.

המחבר טוען שמתמטיקה, בניגוד לשפה הטבעית, היא שפה שאינה סובלת עמימות, רב-משמעות או ניואנסים סובייקטיביים. במתמטיקה, תובנה או טענה חייבת להיות מוכחת באופן בינארי: כאמת מוחלטת או כשקר מוחלט. אין אולי. השפה הטבעית רוויה במילים נרדפות סובייקטיביות, בניסוחים מעורפלים ובסתירות פנימיות. זה כמובן אינו נכון. במתמטיקה ישנו ריבוי משמעות רב, גם ל-4 פעולות החשבון הבסיסיות שאנחנו מכירים באריתמטיקה יש ריבוי משמעויות. כמו בשפה טבעית גם במתמטיקה אפשר להסביר את אותה התופעה באמצעות ניסוח אחר ותוך שימוש בעקרונות אחרים, לדוגמה כפי שהראיתי בסדרה של פוסטים על אלגוריתם לוביין למציאת קהילות בגרפים, כאן, ו-כאן.

התובנה שלפיה עמימות שפתית פוגעת בתהליכי קבלת החלטות היא נכונה עובדתית וחיונית בפילוסופיה אנליטית. עם זאת, יישום גישה זו באופן גורף על חיי היומיום הוא בעייתי ורדוקטיבי. הספר פוסל מורכבות ועמימות, אך הוא מתעלם מכך שמערכות אנושיות, חברתיות, פוליטיות וכלכליות אינן מערכות אקסיומטיות סגורות. בעולם האמיתי, לרוב אין אמת דיכוטומית של שחור ולבן, ורב-משמעות היא לעיתים כלי חברתי ותרבותי הכרחי להתנהלות אנושית. הטענה שחשיבה יומיומית צריכה להיות כפופה לאותו רף של הוכחות קפדניות כמו שנדרש עבור משפטים מתמטיים היא בלתי מעשית, ועלולה להוביל לשיתוק אנליטי. הניסיון למחוק את האולי הוא ניסיון לכפות מבנה של מדעים מדויקים על מדעי החברה ומדעי הרוח, ניסיון שנדון מראש לכישלון חלקי. ובכלל, גם במדעים מדוייקים יש הרבה מקום לעמימות וקיימת עמימות בשפע. הדייקנות וההבחנה בין דקויות קיימת ברמת ההתבטאות הן בשפה טבעית והן במתמטיקה. לפעמים, העמימות היא מובנית מתוך נוחות ועל מנת לצמצם סרבול. המשמעות הנכונה נגזרת מההקשר. היכן שלא ניתן להסיק באופן חד משמעי את המשמעות מתוך ההקשר ישנה בעיה (או הזדמנות, או אומנות, תלוי איך רואים זאת) הן בשפה טבעית והן במתמטיקה. סה"כ, מתמטיקה היא גם שפה.

אחת התובנות המרכזיות והפרקטיות ביותר בספר היא אימוץ מסגרת עבודה מובנית לפתרון בעיות שאינן מוכרות, המורכבת מארבעה שלבים עוקבים: השערה, התמחות או בדיקה פרטנית, הכללה ושכנוע. כדי להסביר תובנה זו, הספר מציג מקרה בוחן יומיומי שמכונה מבחן בלאק פריידי. נניח שצרכן נכנס לחנות ומוצא מוצר שעליו יש מס קנייה, אך גם הנחת סוף עונה. הצרכן שואל את עצמו: האם משתלם לי יותר שהקופאי יחשב קודם את ההנחה ואז יוסיף את המס, או קודם יוסיף את המס ואז יחשב את ההנחה? אז לשיטתו של המחבר ככה פועלת השיטה:

• השערה: הצרכן מגבש ניחוש מושכל, אפילו אם הוא שגוי. למשל, עדיף לחשב קודם את ההנחה כדי שהמס יחול על סכום נמוך יותר.

• התמחות: הצרכן מציב נתונים אמיתיים (למשל מוצר של 100 דולר, הנחה של 20%, מס של 10%) ובודק את התוצאה בשני המסלולים. הוא מגלה שהתוצאה זהה (88 דולר). הוא בודק שוב עם מוצר של 50 דולר.

• הכללה: מתוך הדוגמאות הפרטיות, הצרכן מזקק חוקיות אוניברסלית: מכיוון שמדובר בכפל שברים, חוק החילוף חל, ולכן סדר חישוב אחוזים לעולם אינו משנה. ואני אוסיף, אינו משנה בתוצאה. במשמעות כפי שראינו זה משנה!

• שכנוע: הצרכן מנסח את הטיעון בצורה לוגית כדי לשכנע עמיתים, ולאחר מכן מציג אותו בפני ספקנים שינסו לאתגר את הנחות היסוד.
  

המודל יעיל, מעשי ומהווה את אחד הכלים החזקים ביותר שמוצגים בספר לפיתוח חשיבה עצמאית. עם זאת, המודל אינו פרי פיתוחו של רתרפורד. אפשר למצוא את המודל הזה בשלמותו בספר, Thinking Mathematically של ג'ון מייסון. אמנם מייסון כינה את השלבים Entry, Attack, Review והטמיע את פעולות ההתמחות וההכללה. אני משער שאפשר יהיה למצוא את המודל הזה או דומים לו גם במקומות אחרים נוספים.

תובנה מרכזית נוספת עוסקת בנטייה האנושית המסוכנת לחשיבה ליניארית. חשיבה ליניארית מוגדרת בספר כמודוס של מחשבה המניח קשר ישיר, פרופורציונלי ופשוט בין קלט לפלט, סיבה ותוצאה. כלומר, אם מגדילים את התשומה פי שניים, התפוקה תגדל פי שניים. בעוד שמודל זה תקף בתרחישים פשוטים, העולם האמיתי מורכב, רצוף בלולאות משוב, תהליכי רוויה והשפעות תלויות-הקשר. נטייה להניח שמגמות ממשיכות בקווים ישרים מובילה לטעויות תחזית פטאליות.

כדי להמחיש זאת, הספר משתמש בשתי דוגמאות בולטות המדגימות כיצד ההקשר והמיקום קובעים את הכיוון:

הראשונה, מלכודת תחזית ההשמנה שמבוססת על מקרה אמיתי של מחקר השמנה מפורסם, Wang et al., 2008, שחזה מגמות BMI בארה"ב בהתבסס על נתוני NHANES. היו מי ששרטטו קו ישר שמבוסס על עליות העבר, והגיעו למסקנה שעד שנת 2048, 100% מהאמריקאים יהיו בעלי משקל עודף. רתרפורד מראה שאם לוקחים את הלוגיקה הליניארית הזו הלאה, הרי שעד שנת 2070 כ-115% מהאמריקאים יהיו שמנים, נתון שהוא אבסורד שכן לא ניתן לעבור את ה-100%. המציאות היא שעקומות גדילה ביולוגיות מתיישרות סמוך לגבול העליון שלהן אסימפטוטית ושחשיבה ליניארית נכשלת בהבנת חסמים טבעיים.

השנייה, פרדוקס מדינת הרווחה, מתבססת על עקומת הפעמון של שגשוג ומיסוי. פוליטיקאים מתווכחים האם הגדלת מדינת הרווחה טובה או רעה לכלכלה. מודל לא ליניארי מראה כי לשתי המדינות, למשל, שוודיה וארה"ב, יכולה להיות מדיניות הפוכה לחלוטין ושתיהן תהיינה צודקות. שוודיה נדרשה לצמצם את מדינת הרווחה והמיסוי משום שהיא עברה את קודקוד הפעמון והייתה במגמת ירידה בתפוקה, בעוד ארה"ב, שהייתה בחלקו התחתון השמאלי של הפעמון, נדרשה להרחיב את שירותי הרווחה כדי להגיע לאותו קודקוד אופטימלי.

שתי הדוגמאות הספציפיות המפורטות הללו, עד כמה שהן ממחישות וטובות, מופיעות ומתוארות לפרטי פרטים בספר ההסברה של המתמטיקאי ג'ורדן אלנברג How Not to Be Wrong. אלנברג השתמש בדוגמאות הללו בדיוק כדי להבחין בין ישרים לעקומות.

המחבר מעמיק אל תוך התהליכים הקוגניטיביים של למידה, ומתאר את פעילות המוח באמצעות חלוקה לשני מצבי חשיבה:

המצב הממוקד, מצב של קשב ישיר, ריכוז עז, והתמקדות צרה, בדומה לאלומת אור של פנס ממוקד. מצב זה משמש לקריאה ראשונית, שינון נתונים, וניסיון לוגי לפתרון בעיות.

המצב המפוזר,  מצב מנוחה או פעילות רקע חסרת מיקוד, שבו המוח פועל באופן רחב יותר ומייצר חיבורים אסוציאטיביים בין אזורים שונים. מצב זה נכנס לפעולה בזמן משימות פשוטות שנעשות בטייס אוטומטי, כגון הליכה, נהיגה או מקלחת.

התובנה כאן היא שלא ניתן להשתמש בשני המצבים בו זמנית, ושחשיבה אינטנסיבית ורציפה (רק מצב ממוקד) הופכת ללא-יצרנית ואף חוסמת פתרונות יצירתיים. המחבר ממליץ לעזוב בכוונה בעיות קשות ולהסיח את הדעת, כדי לאפשר למוח במצב המפוזר ללעוס את הבעיה ברקע ולייצר תובנות מסוג אהא!.

החלוקה למצבי חשיבה אלו מבוססת מדעית על חקר רשת ברירת המחדל של המוח. גם כאן המחבר השתמש במודל קיים אבל לא הזכיר את המקור. המסגרת של Focus/Diffuse Mode נטבעה והופצה באופן נרחב על ידי ד"ר ברברה אוקלי בספרה A Mind for Numbers ובקורס המקוון המפורסם שלה Learning How to Learn. רתרפורד משתמש באותן אנלוגיות ממש להסברת המושג. בעוד שהעצה הפדגוגית היא מצוינת, יעילה ושימושית לסטודנטים ולאנשי מקצוע, היא נעדרת ערך מוסף של המחבר.

לסיכום, כלי העבודה הקוגניטיביים שהספר מאגד הם נכונים, מוכחים מדעית, ברובם, ובעלי פוטנציאל להביא תועלת רבה בארגון תהליכי חשיבה ופירוק בעיות אישיות ועסקיות. אולם, חוקרים ואנשי מקצוע שמחפשים העמקה אמיתית בתהליכי חשיבה מתמטיים או אלגוריתמיים במערכות מורכבות, ייטיבו לעשות אם יפנו ישירות למקורות הפסיכולוגיים והמתמטיים המקוריים שמהם נשאבו רעיונותיו של ספר זה.

Mathematical Thinking - For People Who Hate Math: Level Up Your Analytical and Creative Thinking Skills. Excel at Problem-Solving and Decision-Making by Albert Rutherford

Thinking Mathematically by J. Mason, L. Burton, K. Stacey How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking by Jordan Ellenberg

A Mind for Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) by Barbara Oakley

Mathematical Thinking - For People Who Hate Math: ביקורת ספר

חינוך מתמטי? הוראת מתמטיקה? מתמטיקה שימושית? מחקר אלגוריתמי יישומי? פסיכולוגיה התנהגותית? פסיכולוגיה חינוכית? היבטים מתמטיים, אנליטיים בפסיכולוגיה, חינוך הוראה ולמידה? אנחנו מבינים בזה.

דברו איתי:

שלמה יונה

מייסד ומדען ראשי, מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ

053-7326360

shlomo.yona@mathematic.ai 

https://mathematic.ai

פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו: A technical deep dive about