מרחבי הילברט

מרחב הילברט הוא כלי העבודה המרכזי עבור מדענים וחוקרים בתחומים שבהם נדרש שילוב בין גיאומטריה לאינסוף. הוא מאפשר להם למדוד מרחקים וזוויות בין דברים שאינם נקודות במרחב הפיזי, אלא פונקציות או מצבים מופשטים.

מרחב הילברט שימושי לתיאור המציאות בשביל פיזיקאים קוונטים: כל חלקיק או מערכת קוונטית מיוצגים כווקטור בתוך המרחב הזה. הוא מאפשר לחשב הסתברויות, אנרגיות וספין של חלקיקים.

מתמטיקאים שימושיים באנליזה פונקציונלית משתמשים במרחבי הילברט כדי לחקור תכונות של פונקציות. הם נעזרים בו כדי לפתור משוואות דיפרנציאליות מורכבות שמדמות תופעות טבע כמו זרימת חום או רעידות של מיתרים.

בהנדסת חשמל, עיבוד אותות ותקשורת משתמשים במרחב הילברט כדי לפרק אותות קול או תמונה לרכיבים בסיסיים, כמו תדרים. כל גל נתפס כנקודה במרחב, והיכולת להטיל את הנקודה על צירים מאפשרת סינון רעשים ודחיסת מידע יעילה.

בכלכלה ופיננסים בתמחור נכסים ובניהול סיכונים, ניתן להשתמש במרחבי הילברט כדי למדל משתנים מקריים ותהליכים פיננסיים לאורך זמן.

גם מדעני נתונים יכולים להשתמש במרחבי הילברט בעלי גרעין משחזר, RKHS, כדי לסווג מידע מורכב: להתמיר למרחב הילברט רב-ממדי שבו קל יותר להפריד בין קטגוריות שונות.  במרחב החדש הזה, קל הרבה יותר למצוא קו הפרדה ישר בין קבוצות נתונים שונות. 

בניתוח של רשתות עצביות כדי לנסות ולהוכיח למידה של המודל וכדי למדוד יציבות של מודל ממדלים את שכבות רשת הנוירונים כפעולות בתוך מרחבי הילברט.

כשרוצים לטפל בערכים שהם בעצמם פונקציות אינסופיות אז מרחב הילברט מספק תשתית מתמטית לכך.

מרחבי הילברט

צריכים עזרה באלגוריתמים? מחקר אלגוריתמי יישומי? מדען ראשי? מתמטיקאי שימושי? דברו איתי:

שלמה יונה

מייסד ומדען ראשי, מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ

053-7326360

shlomo.yona@mathematic.ai 

https://mathematic.ai

פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו: A technical deep dive about Mathematic.ai