.png)
משמעויות מתמטיות של מסנן קלמן באמצעות תורת ההסתברות
על מסנן קלמן הסברנו במאמר היתוך נתונים באמצעות מסנן קלמן ושיטות מתקדמות אחרות. הפעם נתאר אותו באמצעות תורת ההסתברות, לאחר שהסברנו אותו באמצעות תורת האינפורמציה ותורת עיבוד האותות בפוסטים קודמים.
מומחים בתורת ההסתברות רואים באלגוריתם Kalman Filter מנוע הסקה בייסיאני מדויק שפועל על משתנים מקריים שמציגים התפלגות נורמלית. בקר הטיסה של הרחפן מנהל את שערוך המצב כתהליך שמעדכן פונקציית צפיפות הסתברות שמתארת את מרחב המיקום של כלי הטיס. בשלב החיזוי, הבקר קולט את נתוני חיישן IMU ומפעיל עליהם טרנספורמציה לינארית שמוסיפה רעש תהליך אקראי שמתפלג גאוסית. פעולה זו מרחיבה את השונות של משתני המצב ומייצרת פונקציית צפיפות פריור חדשה. כאשר מקלט GNSS או חיישן Barometer מספקים תצפית מדידה, המערכת מגדירה פונקציית נראות שמתארת את ההסתברות לקבל את התצפית הזו עבור כל מצב אפשרי שניצב במרחב הפיזיקלי. חוקרי תורת ההסתברות מסבירים ששבח קלמן מבצע בפועל כפל סטטיסטי בין פונקציית הפריור לבין פונקציית הנראות לפי משפט בייס. מכיוון שהמערכת מתנהגת בצורה לינארית, המכפלה מניבה פונקציית פוסטריור שמציגה התפלגות גאוסית לחלוטין, והמסנן מחלץ ממנה את התוחלת החדשה ואת מטריצת השונות המשותפת P שמייצגות יחד את הפתרון הסטטיסטי השלם.
כאשר הרחפן טס במרחב תלת ממדי ומבצע מניפולציות זוויתיות, המודל הקינמטי מכיל פונקציות לא לינאריות שמשנות את כללי המשחק ההסתברותיים. הפעלה של טרנספורמציה לא לינארית על משתנה מקרי גאוסי מייצרת פונקציית צפיפות חדשה שמאבדת לחלוטין את הצורה הפעמונית והסימטרית שלה. אלגוריתם Extended Kalman Filter מתמודד עם אתגר זה בכך שהוא מאלץ את התפלגות הפוסטריור להישאר גאוסית בכל צעד. המסנן גוזר את הפונקציות הפיזיקליות סביב נקודת התוחלת הנוכחית ומחשב את מטריצת Jacobian כדי לייצר קירוב לינארי שישמר את צורת ההתפלגות. אסטרטגיה זו עובדת היטב כאשר הרחפן מנווט בצורה רגועה, אך כאשר המערכת מתיכה נתוני GNSS יחד עם זוויות גלגול מהירות, הקירוב הלינארי מעוות את מרחב ההסתברות. עיוות זה מוביל את המערכת לחשב תוחלת ושונות שאינן משקפות נכונה את מסת ההסתברות האמיתית, תופעה שדוחפת את המסנן להעניק ביטחון מופרז או חסר לפונקציית הצפיפות שהוא יצר.
כדי לפתור את בעיית עיוות ההסתברויות במערכות ניווט מורכבות שמשלבות נתוני Lidar ומצלמות Optical Flow, מפתחים מטמיעים את אלגוריתם Unscented Kalman Filter שמציג גישה הסתברותית חכמה ויציבה יותר. במקום לקרב את הפונקציה הפיזיקלית, המסנן בוחר לדגום את פונקציית הצפיפות עצמה, תחת העיקרון שקל הרבה יותר לקרב התפלגות הסתברות מאשר לקרב טרנספורמציה לא לינארית מורכבת. מעבד האותות מייצר אוסף דטרמיניסטי של נקודות סיגמא שלוכדות במדויק את המומנטים הסטטיסטיים של התפלגות הפריור, ובמיוחד את התוחלת ואת מטריצת השונות המשותפת. המסנן מעביר את כל אחת מנקודות המדגם הללו בנפרד דרך הפונקציות הלא לינאריות המקוריות, ללא כל פעולת גזירה מתמטית. לאחר מכן, המערכת מחשבת מחדש את המומנטים של אוסף הנקודות שהפונקציות החזירו ובונה סביבם פונקציית פוסטריור גאוסית חדשה. מומחים להסתברות מעריכים טכניקה זו משום שהיא מצליחה לשחזר את מאפייני ההתפלגות עד לסדר שני ושלישי, ומונעת את השגיאות הסטטיסטיות החמורות שמלוות את הקירוב המקומי בעת תמרוני טיסה חריפים במרחב.
איך זה קשור אלינו במתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ? אנחנו מקימים בימים האלה ארגון שנותן מענה הוליסטי מבוסס רחפנים מאיסוף הנתונים השיטתי ועד לתובנות ולפתרונות ולתוצרים עבור לקוחות מענפי התכנון, הבנייה, האכיפה, החקלאות והתשתיות.
אם אתם זקוקים לשותף טכנולוגי עתיר ניסיון שיודע לספק שירותי מחקר ופיתוח Hands-on, מארגוני אנטרפרייז ועד סטארט-אפים, ממשרדי תכנון ועד למפעלי אנרגיה, על מנת להוציא חזון אלגוריתמי שלכם מהכוח אל הפועל? הבה נדבר!
שלמה יונה,
מייסד ומדען ראשי,
מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ
053-7326360
פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו:
Comments