משפטי נקודת שבת

נקודת שבת היא מושג מתמטי שמתאר מצב שבו פונקציה משאירה ערך מסויים בדיוק כפי שהוא. כלומר, עבור הפונקציה f, נקודת השבת x מקיימת את המשוואה f(x)=x.

למשפטי נקודת שבת יש ערך בהבנה שלנו וביכולת התיאור שלנו של העולם הפיזיקלי, הכלכלי והטכנולוגי שלנו. שניים מהמשפטים המפורסמים והחשובים בתחום הם משפט נקודת השבת של בנך ומשפט נקודת השבת של בראואר.

אף על פי ששניהם עוסקים באותו רעיון בסיסי, הם שונים מאוד בדרישות שלהם, בתוצאות שהם מספקים, ובאופן שבו אנו משתמשים בהם. 

המשפט של המתמטיקאי הפולני סטפן בנך, הידוע גם כמשפט ההעתקה המכווצת, קובע שאם יש לנו מרחב שבו אפשר למדוד מרחקים, ופונקציה שתמיד מקרבת בין נקודות (העתקה מכווצת), אז מובטח לנו קיום של נקודת שבת אחת ויחידה. המשפט אינו רק אומר שהנקודה קיימת, אלא גם איך למצוא אותה, פשוט על ידי הפעלת הפונקציה שוב ושוב באיטרציות מכל נקודת התחלה, עד שמתכנסים לנקודת השבת. שימושים מעשיים של המשפט נמצאים למשל בדחיסת נתונים, בחיפוש ובמקומות שבהם רוצים לבצע תהליך חישוב איטרטיבי שמכווץ את השגיאה בכל שלב עד להתכנסות לתוצאה מדוייקת ככל שמוכנים לקבל.

המשפט של המתמטיקאי ההולנדי לויצן אגברטוס יאן בראואר פועל על סוג שונה של צורות. המשפט קובע שכל פונקציה רציפה שמקבלת כקלט צורה סגורה, חסומה וללא חורים (קבוצה קומפקטית וקמורה), וממפה אותה לתוך עצמה, חייבת להיות לה לפחות נקודת שבת אחת.

בניגוד לבנך, המשפט של בראואר אינו דורש שהפונקציה תכווץ מרחקים, והוא אינו מבטיח שהנקודה תהיה יחידה. החיסרון הגדול ביותר שלו הוא שהוא אינו קונסטרוקטיבי, הוא מוכיח שנקודת השבת קיימת בוודאות, אבל לצערינו אינו מנסח אלגוריתם או דרך ברורה למצוא אותה.

דמיינו כוס קפה שחור שהרגע בחשתם עם כפית. אין זה משנה כמה חזק או באיזה כיוון בחשתם, ברגע שהנוזל יחזור למצב מנוחה, משפט בראואר מוכיח שבהכרח יש לפחות חלקיק אחד של קפה שנמצא באותה נקודה מרחבית שבה הוא היה לפני שהתחלתם לבחוש. כמובן, בהנחה שהקפה נשאר בתוך הכוס והתנועה רציפה.

השימוש המעשי המרכזי של המשפט הוא להבטיח למתכנני מערכות שמצב יציב אכן קיים, מה שנותן את האור הירוק לפתח אלגוריתמים שיחפשו אותו. השימוש המפורסם ביותר של משפט בראואר, שזיכה את ג'ון נאש בפרס נובל, הוא ההוכחה שבכל משחק עם מספר סופי של שחקנים קיים לפחות שיווי משקל נאש אחד. למשל, חברות תקשורת שקובעות מחירי חבילות סלולר. האסטרטגיה של חברה א' תלויה באסטרטגיה של חברה ב'. משפט בראואר מבטיח שתמיד קיימת נקודת שיווי משקל בשוק שבה המחירים מתייצבים. במודלים של למידת מכונה שמבוססים על תחרות בין אלגוריתמים משפט בראואר מספק תשתית מתמטית ליציבות המערכת. למשל ב-GAN, אלגוריתם אחד מנסה לייצר נתונים מזויפים, ואלגוריתם שני מנסה לזהות את הזיוף. מדובר במשחק סכום אפס מתמשך. קיימת נקודת שיווי משקל אידיאלית שבה הזייפן מייצר דוגמאות מושלמות ואילו הבלש נאלץ לנחש בהסתברות של 50%. אם נסתכל על כדור הארץ ועל כיווני הרוחות הנושבות עליו ברגע נתון (כפונקציה רציפה על פני כדור), המשפט מוכיח שבהכרח קיימת לפחות נקודה אחת על פני כדור הארץ שבה מהירות הרוח היא בדיוק אפס והנקודה הזאת היא עין הסערה.

משפטי נקודת שבת

צריכים מתמטיקאי שימושי? מחקר אלגוריתמי יישומי? מדען ראשי לפי שימוש? אולי ייעוץ? דברו איתי:

שלמה יונה

מייסד ומדען ראשי, מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ

053-7326360

shlomo.yona@mathematic.ai 

https://mathematic.ai

פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו: A technical deep dive about Mathematic.ai