על נורמת הילברט-שמידט שמכונה גם נורמת פרובניוס בהקשר של מטריצות סופיות

מהי נורמת הילברט-שמידט?

נורמת הילברט-שמידט, שמכונה גם נורמת פרובניוס, היא הדרך למדוד את האורך או הגודל הכולל של מטריצה, בדיוק כפי שאנו מודדים אורך של וקטור רגיל. אם נחשוב על מטריצה כעל אוסף של מספרים שמסודרים בטבלה, הנורמה הזו לוקחת את כל המספרים שבמטריצה, מעלה כל אחד מהם בריבוע, סוכמת את כולם יחד ומוציאה שורש מהתוצאה. עבור מטריצה A, נסמן את הנורמה כ-‖A‖ ואת האיברים שלה כ-aᵢⱼ. הנוסחה הישירה היא:

‖A‖ = √( ∑ᵢⱼ |aᵢⱼ|² )

איך זה עובד והקשר לעקבה (Trace)?

היופי בנורמה הזו הוא שניתן לחשב אותה בעזרת פעולות מטריציוניות בסיסיות מבלי לעבור איבר-איבר ידנית. הפעולה המרכזית כאן היא המכפלה של המטריצה A במטריצה הצמודה שלה, A* (שזו המטריצה המוחלפת עם הצמדה מרוכבת). כאשר אנו מבצעים את המכפלה (A*A), איברי האלכסון של המטריצה החדשה שנוצרת מייצגים את סכומי הריבועים של העמודות של A. לכן, אם נבצע עקבה, שהיא פשוט חיבור של כל איברי האלכסון, נקבל את סכום הריבועים של כל איברי המטריצה המקורית:

‖A‖² = Tr(A*A)

למה זה נכון מתמטית?

הזהות

‖A‖² = Tr(A*A)

נכונה כי היא מגדירה מכפלה פנימית במרחב המטריצות. בדיוק כפי שוקטור כפול עצמו (מכפלה סקלרית) נותן את ריבוע האורך שלו, כך גם המכפלה של מטריצה בצמודה שלה תחת פעולת העקבה נותנת את ריבוע האורך המטריציוני. באופן פורמלי, אם נסתכל על האיבר ה-ii במטריצה A*A, הוא שווה ל-

∑ⱼ a*ᵢⱼaⱼᵢ

העקבה סוכמת את כל התרומות הללו מכל השורות i, ויוצרת את הערך הכולל של הנורמה בריבוע:

Tr(AA) = ∑ᵢ (AA)ᵢᵢ = ∑ᵢ ∑ⱼ |aᵢⱼ|²

למה זה שימושי?

הנורמה הזו חשובה ומשמעותית כי היא נשמרת תחת טרנספורמציות סיבוביות (אוניטריות U). זה אומר שאם נסובב את המרחב שבו המטריצה פועלת, הגודל הכולל שלה לא ישתנה:

‖UA‖ = ‖A‖

בתחומים כמו עיבוד אותות או מכניקת הקוונטים, זה מאפשר לנו למדוד עד כמה שתי מערכות (מטריצות) דומות זו לזו על ידי חישוב הנורמה של ההפרש ביניהן:

d(A,B) = ‖A - B‖

מה הקטע של השמות הילברט שמידט ופרובניוס?

הסיבה לשמות הכפולים של הנורמה נובעת מההיסטוריה של המתמטיקה ומההקשר שבו משתמשים בה בין אם מדובר בטבלאות מספרים פשוטות ובין אם באופרטורים מורכבים במרחבים אינסופיים.

השם נורמת פרובניוס נפוץ מאוד בתחום האלגברה הליניארית והחישוב הנומרי והוא ניתן על שמו של המתמטיקאי הגרמני פרדיננד גאורג פרובניוס. פרובניוס חקר את המבנה של מטריצות בעלות ממד סופי בסוף המאה ה-19 והציג את הנורמה כהכללה טבעית של המרחק האוקלידי עבור מערכים של מספרים. לכן כאשר עוסקים במדעי המחשב או בהנדסה ומתייחסים למטריצות כאל אובייקטים סטטיים של נתונים נהוג להשתמש בשמו.

לעומת זאת השם נורמת הילברט-שמידט מקובל יותר בתחומי האנליזה הפונקציונלית והפיזיקה הקוונטית והוא מנציח את עבודתם של דויד הילברט וארהרד שמידט. שני המתמטיקאים הללו הרחיבו את המושגים של אלגברה ליניארית לעבר עולמות של ממד אינסופי שם המטריצות הופכות לאופרטורים הפועלים על פונקציות. הם הגדירו קבוצה מיוחדת של אופרטורים שהנורמה שלהם סופית וקראו להם אופרטורי הילברט-שמידט. העבודה שלהם אפשרה להשתמש בכלים של גיאומטריה ומרחק גם במערכות פיזיקליות מורכבות שבהן המשתנים אינם רשימה סופית של ערכים.

למרות השמות השונים מדובר בדיוק באותה הגדרה מתמטית כאשר מיישמים אותה על מטריצות סטנדרטיות. ההחלטה באיזה שם להשתמש תלויה בעיקר בקהל היעד ובתחום הידע שבו עוסקים. בשיח של מתמטיקה טהורה ובחקר מרחבי הילברט השם הילברט-שמידט מדגיש את הקשר למבנה העמוק של המרחב בעוד שבאלגברה יישומית השם פרובניוס מדגיש את הפן החישובי של סכימת ריבועי האיברים.

על נורמת הילברט-שמידט שמכונה גם נורמת פרובניוס בהקשר של מטריצות סופיות

אנחנו במתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ מספקים שירותים של מחקר אלגוריתמי יישומי, שירותים של Fractional CTO / Chief Scientist ומייעצים בנושאים של מתמטיקה שימושית, תכן ניתוח שיפור ופיתוח של אלגוריתמים ומבני נתונים. דברו איתי:

שלמה יונה

מייסד ומדען ראשי, מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ

053-7326360

shlomo.yona@mathematic.ai 

https://mathematic.ai

פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו: A technical deep dive about Mathematic.ai