עשרת אי-השיוויונות החשובים ביותר

אנחנו רגילים למשוואות וכשיודעים לפתור מסתדרים וחשים בנוח גם לתיאור ולניסוח וגם כדי לפתור. אבל המציאות? המציאות מלאה ברעשים, שגיאות וגבולות פיזיקליים. לפעמים אין שווה בדיוק, יש חסמים עליונים ויש חסמים תחתונים וכאן נכנסים לתמונה אי-השוויונות.

הנה הרשימה שלי של עשרת אי-השוויונות שכל מהנדס, פיזיקאי ומדען נתונים חייב להכיר. אין בהכרח דירוג ואני אינני בטוח שלא עשיתי עוול לאי-שיוויונות חשובים ושימושיים אחרים. נתחיל בחמישה מתוך העשרה:

אי-שוויון קושי-שוורץ הוא אחד המשפטים היסודיים והשימושיים ביותר באנליזה ובאלגברה ליניארית. הוא מגדיר קשר קשיח בין המכפלה הפנימית של שני וקטורים לבין המכפלה של אורכיהם, הנורמות. המכפלה הפנימית של שני וקטורים תמיד חסומה על ידי מכפלת האורכים שלהם. התובנה הזו היא שמאפשרת לנו להגדיר זוויות בין וקטורים במרחבים רב-ממדיים, ומשמשת להשוואת טקסטים או המלצות תוכן, באמצעות דמיון קוסינוס.

|⟨u, v⟩|² ≤ ⟨u, u⟩ ⋅ ⟨v, v⟩

אי-שוויון המשולש מבטא את העיקרון שהדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות היא קו ישר, והוא יסוד הכרחי לכל מרחב מטרי שמשמש בניווט, אופטימיזציה גיאומטרית והוכחת התכנסות של תהליכים נומריים. פורמלית, הנורמה של סכום שני איברים קטנה או שווה לסכום הנורמות שלהם. התנאי לשימוש הוא עבודה בתוך מרחב מטרי או מרחב נורמי כלשהו מעל שדה הממשיים או המרוכבים. 

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

למה אי-שוויון ג'נסן הוא אחד המשפטים החשובים ביותר במדע הנתונים ובפיזיקה? תשובה טמונה ביכולת שלו לגשר בין המיקרו למקרו. הוא קובע שעבור כל פונקציה קמורה, הערך בנקודת הממוצע נמוך מהממוצע של הערכים. בשטח, זהו המכשיר שמאפשר לנו בתורת האינפורמציה להוכיח שאנטרופיה היא אי-שלילית. בלמידת מכונה אי-השיוויון מאפשר לבצע קירובים וריאציוניים במקרים שבהם חישוב התוחלת הישירה אינו אפשרי חישובית. התנאי לשימוש הוא קמירות של הפונקציה בתחום הרלוונטי וקיומן של תוחלות סופיות למשתנה המקרי.

φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]

אי-שוויון הממוצעים מהווה כלי אופטימיזציה שימושי וחזק שמאפשר לקבוע חסמים ללא צורך בחישוב נגזרות. חשיבותו המרכזית היא ביכולת לגשר בין סכום רכיבים למכפלתם . עבור אוסף נתונים אי-שלילי, הממוצע האריתמטי תמיד חוסם מלמעלה את הממוצע הגאומטרי. תכונה זו חיונית בתכנון מערכות תחת אילוצים, כי היא מוכיחה כי עבור סכום קבוע של משאבים, ניצולת מקסימלית, מקסימום מכפלה, תתקבל כאשר הערכים זהים. כל חלוקה לא שוויונית של התקציב (הסכום) יוצרת חוסר יעילות שמקטין את התפוקה הכוללת. יישומי האי-שוויון נפוצים החל מאנליזת יציבות ועיבוד אותות, דרך תורת המידע ועד לחישובי יעילות אנרגטית במערכות מבוזרות.

(x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n ≥ (x₁ ⋅ x₂ ⋅ ... ⋅ xₙ)^(1/n)

עקרון האי-ודאות של הייזנברג מגדיר את הגבול הבסיסי לדיוק שבו ניתן למדוד זוג משתנים צמודים, ומהווה את אבן היסוד של הפיזיקה הקוונטית לצד הופעתו כחסם גאבור בעיבוד אותות. פורמלית, מכפלת סטיות התקן של שני אופרטורים הרמיטיים שאינם חילופיים חסומה מלמטה על ידי מחצית מקבוע פלאנק המצומצם. התנאי לשימוש הוא שמדובר במשתנים צמודים קנונית במערכת קוונטית או גלית שהקמוטטור שלהם אינו מתאפס.

 Δx Δp ≥ ħ / 2

בהמשך, הפוסט השני בנושא שישלים לעשירייה שלי. וכנראה גם פוסטים לגבי המשמעויות השונות והשימושים השונים לאי-השיוויונות הללו, אלה בחמישייה כאן ואלה שבחמישייה הבאה. 

מה האי-שיוונויות הכי שימושיים אצלכם? 

עשרת אי-השיוויונות החשובים ביותר

להשלמת רשימת עשרת אי-השיוויונות השימושיים ביותר. בלי דירוג. לא בטוח שאני צודק, אבל אני כנראה אינני טועה לגבי החשיבות.החמישייה הבאה.

אי-שוויון צ'בישב הוא עמוד תווך בסטטיסטיקה יישומית ובקרת איכות, מאפשר לחסום את כמות הרעש או החריגות במערכות חישה גם כשלא יודעים מהי ההתפלגות המדויקת של הרעש. פורמלית, ההסתברות שמשתנה מקרי יסטה מהתוחלת שלו ביותר ממספר מסוים של סטיות תקן, קטנה או שווה לאחד חלקי אותו מספר בריבוע. התנאי הוא שלמשתנה המקרי תהיה תוחלת סופית ושונות סופית ומוגדרת.

 P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k²

אי-שוויון קלאוזיוס הוא הניסוח המתמטי של החוק השני של התרמודינמיקה, קובע את חץ הזמן ואת החסם המוחלט על היעילות של מנועים תרמיים ותגובות כימיות. פורמלית, האינטגרל המסלולי הסגור של דיפרנציאל החום המועבר למערכת חלקי הטמפרטורה שבה ההעברה מתבצעת תמיד קטן או שווה לאפס. התנאי לשימוש הוא שהמערכת מבצעת מחזור תרמודינמי שלם וסגור.

 ∮ δQ / T ≤ 0

חסם האיחוד, אי-שוויון בול, הוא כלי מרכזי במדעי המחשב שמאפשר להבטיח בהסתברות גבוהה את תקינותה של מערכת מורכבת, על ידי סכימת סיכויי הכשל של רכיביה השונים. פורמלית, עבור כל אוסף בן מניה של מאורעות במרחב הסתברות, הסתברות האיחוד שלהם חסומה מלעיל על ידי סכום ההסתברויות שלהם. התנאי היחיד הוא קיום מרחב הסתברות חוקי, ללא כל דרישה לאי-תלות בין המאורעות.

 P(∪ Aᵢ) ≤ ∑ P(Aᵢ)

אי-שוויון מרקוב משמש באנליזה של זרימת נתונים ובתורת התורים, ומאפשר למהנדסים לקבל החלטות על הקצאת משאבים בסביבות של אי-ודאות מידע עמוקה. פורמלית, ההסתברות שמשתנה מקרי אי-שלילי יהיה גדול או שווה לקבוע חיובי נתון, קטנה או שווה לתוחלת שלו מחולקת באותו קבוע. התנאים הם שהמשתנה המקרי חייב להיות אי-שלילי לחלוטין ובעל תוחלת סופית.

 P(X ≥ a) ≤ E[X] / a

אי-שוויון הולדר הוא הכללה מודרנית וחזקה של קושי-שוורץ, שחיונית לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות ומשמשת במחקרי זרימה ומעבר חום בהנדסת מכונות. פורמלית, האינטגרל של הערך המוחלט של מכפלת שתי פונקציות חסום על ידי מכפלת הנורמות שלהן במרחבים מתאימים. התנאי לשימוש הוא שהפונקציות שייכות למרחבי לבג המתאימים, כאשר סכום ההופכיים של המעריכים שווה לאחד.

 ||f ⋅ g||₁ ≤ ||f||_p ⋅ ||g||_q

יש אי-שיוויונות שימושיים אצלכם שלא כתבתי?

עשרת אי-השיוויונות החשובים ביותר

צריכים עזרה עם מחקר אלגוריתמי יישומי? צריכים עזרה בארכיטקטורה? צריכים Fractional CTO? צריכים Fractional Chief Scientist? מתמטיקה שימושית? תכן וניתוח או שיפור של אלגוריתמים ומבני נתונים?

דברו איתי:

שלמה יונה

מייסד ומדען ראשי, מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ

053-7326360

shlomo.yona@mathematic.ai 

https://mathematic.ai

פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו: A technical deep dive about Mathematic.ai