.png)
למה רחפן נסחף ולא מסתדר בעצמו כשחוסמים או מרעילים את הניווט הלווייני שלו?
כל מטיס רחפנים מכיר את הרגע שבו מופיעה על המסך ההודעה GPS Lost. במצב כזה ההיגיון אומר שאם נעזוב את בקרי השליטה הרחפן יעצור, ירחף במקום וימתין להוראות, שכן יש לו רכיב IMU מתקדם. בפועל, אם לא ניקח פיקוד ידני באופן מיידי, הרחפן יתחיל להיסחף ברוח ועלול להתרסק אל תוך העץ הקרוב. נשאלת השאלה מדוע הרחפן אינו מסוגל לשמור על מיקומו בעצמו ברגע שהלוויינים נעלמים.
כדי להבין את התופעה תדמיינו שאתם עומדים בחדר ומבקשים מכם לצעוד קדימה בדיוק שלושה מטרים בעיניים עצומות. בצעדים הראשונים ודאי תדייקו, אבל אם יבקשו מכם ללכת כך במשך חצי שעה ולבצע פניות, האצות והאטות, המצב ישתנה. ללא עיניים שיאשרו היכן אתם נמצאים ביחס לקירות, כל סטייה מזערית בצעד שלכם תצטבר. אחרי חצי שעה תהיו בטוחים שאתם עומדים במרכז החדר, אבל למעשה תמצאו את עצמכם מתנגשים בקיר במסדרון.
תהליך זהה מתרחש ברחפן. רכיב ה-IMU מתפקד כמו האוזן התיכונה שלנו שאחראית על שיווי המשקל. הוא חווה נטיות, זוויות ותאוצה, אבל אין לו אמצעי ראייה. רכיב ה-GPS מתפקד בתור העיניים שלו, וכאשר הקשר איתו אובד, הרחפן מאבד את יכולת ההתמצאות במרחב.
כאשר הרחפן מתנתק מהלוויינים הוא מנסה לחשב את מיקומו בעזרת מתמטיקה פשוטה. בכל חלקיק שנייה הוא בודק איזו תאוצה הוא חווה כדי לחשב את מהירותו, ועל סמך המהירות הזו הוא מחשב את המרחק שעבר. הבעיה טמונה בכך שאף חיישן אינו מושלם ותמיד קיימים בו רעש רקע או סטייה קטנטנה. נניח שהחיישן קולט בטעות תנועה קלה שגורמת לו לחשב שהוא טס קדימה במהירות מזערית של 5 סנטימטרים בשנייה. מכיוון שהוא מסתמך על התוצאות של עצמו שוב ושוב, הטעות הזו לא רק מצטברת, אלא צוברת תאוצה כמו כדור שלג. מאחר שהרחפן מחשב קודם את המהירות השגויה ואז משתמש בה כדי לחשב את המרחק, השגיאה אינה גדלה בקצב אחיד. מתמטיקאים מכנים זאת שגיאה ריבועית, משמע שגיאה שגדלה ביחס לזמן בריבוע.
אפשר להמחיש זאת במספרים. נניח שיש לנו את אותה שגיאת חיישן מזערית של 5 סנטימטרים, הרחפן איבד את אות הלוויינים והוא מנסה לרחף במקום:
אחרי שנייה אחת: הרחפן יחשב שהוא נשאר במקום, אבל בפועל הוא נסחף 2.5 סנטימטרים.
אחרי 60 שניות: מכיוון שהזמן עולה בריבוע, השגיאה מכפילה את עצמה משמעותית והרחפן יימצא במרחק של 90 מטרים מהנקודה שבה הוא חושב שהוא נמצא.
אחרי 120 שניות: כיוון שהזמן הוכפל, השגיאה תגדל פי ארבעה, וכעת הרחפן יימצא במרחק של 360 מטרים.
רכיב ה-IMU עושה עבודה מעולה בשמירה על איזון הרחפן באוויר כדי למנוע התהפכות. עם זאת, כאשר בוחנים ניווט ממושך, המערכת מתחילה לייצר אשליה של מיקום שגוי. ברגע שאובד העוגן החיצוני, כמו GPS או מצלמות תחתונות, הסטיות הקטנות ביותר מצטברות תוך שניות בודדות למרחקים עצומים. לכן בפעם הבאה שאתם שומעים התרעת אובדן ניווט לווייני, אל תסמכו על הרחפן שישמור על מיקומו. קחו מיד את בקרי השליטה, הטיסו אותו ידנית והחזירו אותו הביתה בבטחה.
הפיזיקה והמתמטיקה מאחורי הסחיפה
עבור אלו שרוצים להעמיק בפיזיקה ובחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, נתאר את בעיית ההתבדרות בצורה מתמטית כהתבדרות הנובעת מאינטגרציה כפולה. רכיב ה-IMU אינו מודד מיקום באופן ישיר. המדידים שבו בוחנים תאוצה קווית. כדי שמחשב הטיסה ידע את מיקום הרחפן, עליו לחלץ את מרחק התנועה מתוך נתוני התאוצה. הפעולה המתמטית הנדרשת לשם כך היא אינטגרל כפול לפי הזמן t. אינטגרל ראשון על התאוצה a(t) מעניק לנו את פונקציית המהירות v(t). אינטגרל שני על המהירות מעניק לנו את פונקציית המיקום x(t), כלומר אינטגרל כפול על התאוצה.
במצב אידיאלי המשוואה מושלמת, אך הבעיה הפיזיקלית היא שאין בנמצא מד תאוצה חף משגיאות. תמיד קיימת שגיאת כיול או רעש מדידה קבוע וזעיר שנסמן באות היוונית ε. משמעות הדבר היא שהמערכת אינה מבצעת אינטגרציה על התאוצה האמיתית, אלא על התאוצה בתוספת השגיאה.
כאן נכנסת לתמונה הבעיה של האינטגרל הכפול. באינטגרל הראשון למציאת המהירות, השגיאה הקבועה מוכפלת בזמן ויוצרת שגיאה ליניארית של ε t. באינטגרל השני למציאת המיקום אנו מבצעים אינטגרציה על השגיאה הליניארית הזו. לפי חוקי האינטגרציה, משתנה הזמן עולה בחזקה ומוכפל בחצי, וכך השגיאה הופכת לפרבולית בביטוי של
½εt²
זוהי השגיאה הריבועית. בגלל האינטגרציה הכפולה, כל סטייה מזערית של המדיד גורמת לשגיאת מיקום שגדלה כפונקציה של הזמן בריבוע. מסיבה זו, ניווט אינרציאלי טהור ללא מערכת ראייה או לוויין שמאפסים חיצונית את קבועי האינטגרציה, יוביל בהכרח להתבדרות חריפה ולאובדן אמינות בתוך שניות ספורות. לקריאת פוסטים נוספים, בקרו בבלוג הטכני של מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ.
איך זה קשור אלינו במתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ? התמצאות במרחב באופן אוטונומי היא מיומנות רובוטית חשובה. אנחנו מקימים בימים האלה ארגון שנותן מענה הוליסטי מבוסס רחפנים מאיסוף הנתונים השיטתי ועד לתובנות ולפתרונות ולתוצרים עבור לקוחות מענפי התכנון, הבנייה, האכיפה, החקלאות והתשתיות.
אם אתם זקוקים לשותף טכנולוגי עתיר ניסיון שיודע לספק שירותי מחקר ופיתוח Hands-on, מארגוני אנטרפרייז ועד סטארט-אפים, ממשרדי תכנון ועד למפעלי אנרגיה, על מנת להוציא חזון אלגוריתמי שלכם מהכוח אל הפועל? הבה נדבר!
כמובן, אנחנו כתמיד ממשיכים לספק שירותי מחקר אלגוריתמי יישומי ונותנים פתרונות ב-"קימונו פתוח" ומקדמים עצמאות הלקוחות שלנו ואי-תלות בנו.
שלמה יונה,
מייסד ומדען ראשי,
מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ
053-7326360
פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו:
Comments