.png)
משמעויות מתמטיות של מסנן קלמן באמצעות תורת הבקרה
על מסנן קלמן הסברנו במאמר היתוך נתונים באמצעות מסנן קלמן ושיטות מתקדמות אחרות. הפעם נתאר אותו באמצעות תורת הבקרה, לאחר שהסברנו אותו באמצעות תורת ההסתברות, תורת האינפורמציה ותורת עיבוד האותות בפוסטים קודמים.
מומחים בתורת הבקרה רואים באלגוריתם Kalman Filter צופה מצב אופטימלי שמשלים את לולאת המשוב, באופן שדומה לצופה שפיתח Luenberger אבל בסביבה סטטיסטית. בקר טיסה שמנווט רחפן דורש הערכת מצב פנימית מדויקת כדי להפעיל חוקי בקרה, אך מקבל מחיישנים כדוגמת Barometer רק תצפיות חלקיות ורועשות. בשלב החיזוי, הבקר מריץ מודל קינמטי במרחב המצב שמקדם את משתני המערכת x בעזרת מטריצת המעבר F ואות הבקרה u, פעולה שמייצרת הערכת מצב בחוג פתוח ומגדילה את מטריצת השונות המשותפת P לפי המשוואה P=FPFᵀ+Q. שלב העדכון מתפקד למעשה כמנגנון משוב סגור, שבו המערכת מחשבת את שגיאת העקיבה בין מדידת החיישנים לבין התחזית. הבקר מכפיל את שגיאת העקיבה במטריצת Kalman Gain שאותה הוא מחשב בכל צעד, ומוסיף את התוצאה למצב שאותו חזה קודם לכן דרך משוואת המשוב x=x+K(z-Hx). אנשי בקרה שמכירים את משוואת Riccati מזהים מיד ש-Kalman Gain מתנהג כהגבר חוג אופטימלי שממזער את שגיאת השערוך, בדיוק כפי שבקר מטיפוס LQR ממזער את שגיאת המעקב של המערכת, תהליך שסוגר את הלולאה בצורה חלקה ויציבה.
כאשר מהנדסים מפתחים חוקי בקרה עבור רחפנים שפועלים במרחב תלת ממדי, הם מתמודדים עם דינמיקה פנימית שמכילה אי לינאריות מובהקת עקב משוואות הקינמטיקה וסיבובי הגוף. פונקציות לא לינאריות אלו מונעות מהצופה הקלאסי לסגור חוג בקרה יציב כאשר המערכת מתיכה נתוני IMU יחד עם אותות GNSS. כדי לעקוף מכשול זה, אלגוריתם Extended Kalman Filter מחיל את עקרונות המשוב המקומי סביב נקודת העבודה העדכנית של כלי הטיס. הבקר מפעיל תהליך לינאריזציה בכל פסיעת זמן ומחשב מטריצות Jacobian שמייצגות את הנגזרות החלקיות של משוואות המצב, במטרה לבנות מודל לינארי משתנה בזמן שאליו המערכת תוכל להתאים את חוקי המשוב. שיטת בקרה זו עובדת היטב כשהרחפן טס בנתיב שקט ונשאר קרוב לנקודת הלינאריזציה, אך כאשר כלי הטיס סופג הפרעות חזקות או מבצע תמרונים חריפים, המודל המקומי מאבד את הקשר להתנהגות הפיזיקלית של המערכת. הפער שנוצר בין המודל הלינארי למערכת הממשית מוביל לחישוב שגוי של הגבר המשוב, תופעה שגורמת לצופה המצב לאבד יציבות ולספק נתונים שגויים לבקר המנועים.
מערכות ניווט מתקדמות שמשלבות חיישני Lidar ומצלמות Optical Flow יוצרות משוואות מדידה לא לינאריות שמכשילות לחלוטין את הקירוב המקומי של הנגזרות. כדי לשמור על יציבות הצופה ללא תלות בפעולות גזירה, מפתחי תוכנה משלבים מנגנון Unscented Kalman Filter שבוחן את המערכת דרך תגובתה לאוסף ספציפי של הפרעות. במקום ליצור מודל לינארי מאולץ, המסנן בוחר באופן דטרמיניסטי סט של דגימות מצב שזוכות לשם Sigma Points, שמייצגות את פיזור המצבים האפשריים סביב נקודת העבודה של הרחפן. מעבד האותות מזין כל דגימה כזו בנפרד אל תוך המודל הפיזיקלי המלא, בדומה לבחינת תגובת מערכת סגורה לתנאי התחלה סמוכים. הבקר אוסף את התגובות שמגיעות מהמודל הלא לינארי ומחשב מחדש את הגבר המשוב באופן שלוכד במדויק את המומנטים הסטטיסטיים, ללא סכנת התבדרות מתמטית. תצורת בקרה זו מעניקה לצופה המצב חסינות גבוהה בפני שגיאות קירוב, ומאפשרת לרחפן לבצע תמרוני טיסה אגרסיביים תוך שמירה על הערכת מצב אמינה שמאפשרת לבקר הטיסה לסגור את לולאת הניווט בהצלחה מלאה.
איך זה קשור אלינו במתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ? אנחנו מקימים בימים האלה ארגון שנותן מענה הוליסטי מבוסס רחפנים מאיסוף הנתונים השיטתי ועד לתובנות ולפתרונות ולתוצרים עבור לקוחות מענפי התכנון, הבנייה, האכיפה, החקלאות והתשתיות.
אם אתם זקוקים לשותף טכנולוגי עתיר ניסיון שיודע לספק שירותי מחקר ופיתוח Hands-on, מארגוני אנטרפרייז ועד סטארט-אפים, ממשרדי תכנון ועד למפעלי אנרגיה, על מנת להוציא חזון אלגוריתמי שלכם מהכוח אל הפועל? הבה נדבר!
שלמה יונה,
מייסד ומדען ראשי,
מתמטיקאי מחקר ופיתוח בע"מ
053-7326360
פודקאסט על החברה ועליי, שלמה יונה, ואופן העבודה שלנו ואיתנו:
Comments